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Java 集合(二十): 堆和PriorityQueue的应用

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之前介绍了堆的概念和算法,上节介绍了Java中堆的实现类PriorityQueue,PriorityQueue除了用作优先级队列,还可以用来解决一些别的问题,堆提到了如下两个应用:

  • 求前K个最大的元素,元素个数不确定,数据量可能很大,甚至源源不断到来,但需要知道到目前为止的最大的前K个元素。这个问题的变体有:求前K个最小的元素,求第K个最大的,求第K个最小的。
  • 求中值元素,中值不是平均值,而是排序后中间那个元素的值,同样,数据量可能很大,甚至源源不断到来。

本节,我们就来探讨如何解决这两个问题。

求前K个最大的元素

基本思路

一个简单的思路是排序,排序后取最大的K个就可以了,排序可以使用Arrays.sort()方法,效率为O(N*log2(N))。不过,如果K很小,比如是1,就是取最大值,对所有元素完全排序是毫无必要的。

另一个简单的思路是选择,循环选择K次,每次从剩下的元素中选择最大值,这个效率为O(N*K),如果K的值大于log2(N),这个就不如完全排序了。

不过,这两个思路都假定所有元素都是已知的,而不是动态添加的。如果元素个数不确定,且源源不断到来呢?

一个基本的思路是维护一个长度为K的数组,最前面的K个元素就是目前最大的K个元素,以后每来一个新元素的时候,都先找数组中的最小值,将新元素与最小值相比,如果小于最小值,则什么都不用变,如果大于最小值,则将最小值替换为新元素。

这有点类似于生活中的末尾淘汰,新元素与原来最末尾的比即可,要么不如最末尾,上不去,要么替掉原来的末尾。

这样,数组中维护的永远是最大的K个元素,而且不管源数据有多少,需要的内存开销是固定的,就是长度为K的数组。不过,每来一个元素,都需要找最小值,都需要进行K次比较,能不能减少比较次数呢?

解决方法是使用最小堆维护这K个元素,最小堆中,根即第一个元素永远都是最小的,新来的元素与根比就可以了,如果小于根,则堆不需要变化,否则用新元素替换根,然后向下调整堆即可,调整的效率为O(log2(K)),这样,总体的效率就是O(N*log2(K)),这个效率非常高,而且存储成本也很低。

使用最小堆之后,第K个最大的元素也很容易获得,它就是堆的根。

理解了思路,下面我们来看代码。

实现代码

我们来实现一个简单的TopK类,代码如下所示:

public class TopK <E> {
    private PriorityQueue<E> p;
    private int k;
    
    public TopK(int k){
        this.k = k;
        this.p = new PriorityQueue<>(k);
    }

    public void addAll(Collection<? extends E> c){
        for(E e : c){
            add(e);
        }
    }
    
    public void add(E e) {
        if(p.size()<k){
            p.add(e);
            return;
        }
        Comparable<? super E> head = (Comparable<? super E>)p.peek();
        if(head.compareTo(e)>0){
            //小于TopK中的最小值,不用变
            return;
        }
        //新元素替换掉原来的最小值成为Top K之一。
        p.poll();
        p.add(e);
    }
    
    public <T> T[] toArray(T[] a){
        return p.toArray(a);
    }

    public E getKth(){
        return p.peek();
    }
}

我们稍微解释一下。

TopK内部使用一个优先级队列和k,构造方法接受一个参数k,使用PriorityQueue的默认构造方法,假定元素实现了Comparable接口。

add方法,实现向其中动态添加元素,如果元素个数小于k直接添加,否则与最小值比较,只在大于最小值的情况下添加,添加前,先删掉原来的最小值。addAll方法循环调用add方法。

toArray方法返回当前的最大的K个元素,getKth方法返回第K个最大的元素。

我们来看一下使用的例子:

TopK<Integer> top5 = new TopK<>(5);
top5.addAll(Arrays.asList(new Integer[]{
        100, 1, 2, 5, 6, 7, 34, 9, 3, 4, 5, 8, 23, 21, 90, 1, 0
}));

System.out.println(Arrays.toString(top5.toArray(new Integer[0])));
System.out.println(top5.getKth());

保留5个最大的元素,输出为:

[21, 23, 34, 100, 90]
21

代码比较简单,就不解释了。

求中值

基本思路

中值就排序后中间那个元素的值,如果元素个数为奇数,中值是没有歧义的,但如果是偶数,中值可能有不同的定义,可以为偏小的那个,也可以是偏大的那个,或者两者的平均值,或者任意一个,这里,我们假定任意一个都可以。

一个简单的思路是排序,排序后取中间那个值就可以了,排序可以使用Arrays.sort()方法,效率为O(N*log2(N))。

不过,这要求所有元素都是已知的,而不是动态添加的。如果元素源源不断到来,如何实时得到当前已经输入的元素序列的中位数?

可以使用两个堆,一个最大堆,一个最小堆,思路如下:

  1. 假设当前的中位数为m,最大堆维护的是<=m的元素,最小堆维护的是>=m的元素,但两个堆都不包含m。
  2. 当新的元素到达时,比如为e,将e与m进行比较,若e<=m,则将其加入到最大堆中,否则将其加入到最小堆中。
  3. 第二步后,如果此时最小堆和最大堆的元素个数的差值>=2 ,则将m加入到元素个数少的堆中,然后从元素个数多的堆将根节点移除并赋值给m。

我们通过一个例子来解释下,比如输入元素依次为:

34, 90, 67, 45,1

输入第一个元素时,m即为34。

输入第二个元素时,90大于34,加入最小堆,中值不变,如下所示:


输入第三个元素时,67大于34,加入最小堆,但加入最小堆后,最小堆的元素个数为2,需调整中值和堆,现有中值34加入到最大堆中,最小堆的根67从最小堆中删除并赋值给m,如下图所示:

输入第四个元素45时,45小于67,加入最大堆,中值不变,如下图所示:


输入第五个元素1时,1小于67,加入最大堆,此时需调整中值和堆,现有中值67加入到最小堆中,最大堆的根45从最大堆中删除并赋值给m,如下图所示:

实现代码

理解了基本思路,我们来实现一个简单的中值类Median,代码如下所示:

public class Median <E> {
    private PriorityQueue<E> minP; // 最小堆
    private PriorityQueue<E> maxP; //最大堆
    private E m; //当前中值
    
    public Median(){
        this.minP = new PriorityQueue<>();
        this.maxP = new PriorityQueue<>(11, Collections.reverseOrder());
    }
    
    private int compare(E e, E m){
        Comparable<? super E> cmpr = (Comparable<? super E>)e;
        return cmpr.compareTo(m);
    }
    
    public void add(E e){
        if(m==null){ //第一个元素
            m = e;
            return;
        }
        if(compare(e, m)<=0){
            //小于中值, 加入最大堆
            maxP.add(e);
        }else{
            minP.add(e);
        }
        if(minP.size()-maxP.size()>=2){
            //最小堆元素个数多,即大于中值的数多
            //将m加入到最大堆中,然后将最小堆中的根移除赋给m
            maxP.add(this.m);
            this.m = minP.poll();
        }else if(maxP.size()-minP.size()>=2){
            minP.add(this.m);
            this.m = maxP.poll();
        }
    }
    
    public void addAll(Collection<? extends E> c){
        for(E e : c){
            add(e);
        }
    }
    
    public E getM() {
        return m;
    }
}

代码和思路基本是对应的,比较简单,就不解释了。我们来看一个使用的例子:

Median<Integer> median = new Median<>();
List<Integer> list = Arrays.asList(new Integer[]{
        34, 90, 67, 45, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 10
});
median.addAll(list);
System.out.println(median.getM());

输出为中值9。

小结

本节介绍了堆和PriorityQueue的两个应用,求前K个最大的元素和求中值,介绍了基本思路和实现代码,相比使用排序,使用堆不仅实现效率更高,而且还可以应对数据量不确定且源源不断到来的情况,可以给出实时结果。

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